[NOIP2014 提高组] 飞扬的小鸟

题目背景

NOIP2014 提高组 D1T3

题目描述

Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。
为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编:
游戏界面是一个长为 $n$，高为 $m$ 的二维平面，其中有 $k$ 个管道（忽略管道的宽度）。
小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。
小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为 $1$，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度 $x$，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度 $y$。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度 $x$ 和下降的高度 $y$ 可能互不相同。
小鸟高度等于 $0$ 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 $m$ 时，无法再上升。
现在,请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

输入格式

第 $1$ 行有 $3$ 个整数 $n, m, k$，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开；
接下来的 $n$ 行，每行 $2$ 个用一个空格隔开的整数 $x$ 和 $y$，依次表示在横坐标位置 $0 \sim n-1$ 上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度 $x$，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度 $y$。
接下来 $k$ 行，每行 $3$ 个整数 $p,l,h$，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中 $p$ 表示管道的横坐标，$l$ 表示此管道缝隙的下边沿高度，$h$ 表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证 $p$ 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。

输出格式

共两行。
第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出 $1$，否则输出 $0$。
第二行，包含一个整数，如果第一行为 $1$，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

提示

【输入输出样例说明】
如下图所示，蓝色直线表示小鸟的飞行轨迹，红色直线表示管道。

【数据范围】
对于 $30\%$ 的数据：$5 \leq n \leq 10, 5 \leq m \leq 10, k=0$，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 $3$ 次；
对于 $50\%$ 的数据：$5 \leq n \leq 20, 5 \leq m \leq 10$，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 $3$ 次；
对于 $70\%$ 的数据：$5 \leq n \leq 1000, 5 \leq m \leq 100$；
对于 $100\%$ 的数据：$5 \leq n \leq 10000$，$5 \leq m \leq 1000$，$0 \leq k < n$，$0 < x,y < m$，$0 < p < n$，$0 \leq l < h \leq m$， $l + 1 < h$。

思路

用$d_{i,j}$表示当走到$(i,j)$这个点的时候的最小的步数
先考虑每秒只能点一下的情况
如果每秒最多点一下，那么状态转移方程就显而易见了

d[i+1][max(j+x[i],m)]=min(d[i+1][max(j+x[i],m)],d[i][j]+1);
d[i+1][j-y[i]]=min(d[i+1][j-y[i]],d[i][j]+1);//j-y[i]>0

但是根据题目所说，一秒内能点击很多次，那该怎么转移呢？
展开来写，即是：

d[i+1][max(j+x[i],m)]=min(d[i+1][max(j+x[i],m)],d[i][j]+1,d[i][j-x[i]]+2,d[i][j-x[i]*2]+3......);

那么我们就可以用一个数组来存放$min(d[i][a+k*x[i]])$，并且这个数组也是在从小到大实时更新
这样就能在O(1)的时间内求出后面那一大段的最小值了

具体代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std; 
const ll N=1e4+100,INF=998244353, M=998244353;
int n,m,k,up[N],dow[N],d[N][N/10],ans=INF,Min[N];
inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
struct S{
	int p,l,h;
}s[N];
bool cmp(S x,S y){
	return x.p<y.p;
}
int main()
{
	n=read(),m=read(),k=read();
	for(int i=0;i<n;i++)up[i]=read(),dow[i]=read();
	for(int i=1;i<=k;i++)s[i].p=read(),s[i].l=read(),s[i].h=read();
	sort(s+1,s+k+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
			d[i][j]=INF;
	for(int i=1;i<=m;i++)d[0][i]=0;//以上为初始化
	int t=1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<up[i];j++)Min[j]=INF;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			int f=j%up[i];
			Min[f]=min(Min[f]+1,d[i][j]+1);//把高度分为x[i]组，每组更新最小值，可以O(1)求出最小值
			if(i+1==s[t].p){
				int x=j-dow[i],y=j+up[i];
				if(y>m)y=m;
				if(x>0&&x<s[t].h&&x>s[t].l)d[i+1][x]=min(d[i][j],d[i+1][x]);
				if(y<s[t].h&&y>s[t].l)d[i+1][y]=min(d[i+1][y],Min[f]);
			}
			else {
				int x=j-dow[i],y=j+up[i];
				if(y>m)y=m;
				if(x>0)d[i+1][x]=min(d[i+1][x],d[i][j]);
				d[i+1][y]=min(d[i+1][y],Min[f]);
			}
		}
		if(i+1==s[t].p)t++;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)ans=min(ans,d[n][i]);
	if(ans!=INF)cout<<1<<endl<<ans;
	else {
		cout<<0<<endl;
		for(int i=k;i>=1;i--){
			for(int j=s[i].l+1;j<=s[i].h-1;j++)
				if(d[s[i].p][j]!=INF){
					cout<<i;//寻找答案
					return 0;
				}
		}
		cout<<0;
	}
	return 0;
}
//月雩·薇嫭